Introducción

Una ecuación diferencial de segundo orden es aquella que involucra una segunda derivada; las ecuaciones de orden superior involucran tres o más.

Una ecuación diferencial de segundo orden posee la siguiente forma...
$$\frac{d^2y}{dx^2}=f(x,y)$$
Sin embargo al ser se segundo orden, $f$ también puede depender de $\frac{dy}{dx}$, por lo que posee la siguiente forma...
$$\frac{d^2y}{dx^2}=f(x,y,\frac{dy}{dx})$$

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen esa forma debido a la naturaleza de los sistemas físicos, matemáticos y de ingeniería que modelan. En muchas situaciones reales, el comportamiento de un sistema no solo depende de su estado actual y de su posición (o de la variable independiente $x$ y de la variable dependiente $y$), sino también de la tasa a la que ese estado está cambiando, es decir, de la primera derivada $\frac{dy}{dx}$.

Considera, por ejemplo, el movimiento de un objeto bajo la influencia de fuerzas. La segunda ley de Newton establece que la fuerza actuando sobre un objeto es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración:

$$F = ma$$

En este contexto, la aceleración del objeto es la segunda derivada de su posición respecto al tiempo, $a = \frac{d^2y}{dt^2}$, y la fuerza $F$ puede depender no solo de la posición $y$ y el tiempo $t$, sino también de la velocidad $v = \frac{dy}{dt}$, que es la primera derivada de la posición respecto al tiempo. Por ejemplo, la resistencia del aire es una fuerza que depende de la velocidad del objeto.

Por lo tanto, una ecuación diferencial de segundo orden que modela este sistema puede tener la forma:

$$\frac{d^2y}{dt^2} = f(t, y, \frac{dy}{dt})$$

donde $f$ puede incluir términos que dependen de la posición $y$, la velocidad $\frac{dy}{dt}$, y posiblemente el tiempo $t$.

Esta necesidad de incluir la primera derivada en la función $f$ para ecuaciones diferenciales de segundo orden se debe a que muchos fenómenos físicos y procesos dinámicos están influidos no solo por las condiciones actuales sino también por cómo esas condiciones están cambiando en el tiempo. Incorporar la dependencia en $\frac{dy}{dx}$ permite a las ecuaciones diferenciar entre situaciones donde las variables dependientes tienen el mismo valor pero están cambiando a tasas diferentes, lo que es crucial para modelar correctamente el sistema en estudio.

Primero veremos la E.D lineal homogénea de segundo orden, ya que sabiendo resolver esta podremos resolver las E.D: lineales no homogéneas (o al menos dar su solución en forma integral)...

Ecuaciones lineales

Nos centraremos en los que tienen la forma
$$y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$$
Donde
$y''=\frac{d^2y}{dx^2}$
y
$y'=\frac{dy}{dx}$

Sin embargo lo podemos encontrar con la siguiente forma...
$$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=G(x)$$
Nos centraremos en la primera ecuación donde $p(x)$, $q(x)$, y $g(x)$ son funciones continuas...
También se nos dan condiciones iniciales
$$y(x_{0})=y_{0}$$
Por la naturaleza de la ecuación también tendremos
$$y'(x_{0})=y'_{0}$$

Ecuaciones homogéneas

Una ecuación $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$ es homogénea si $g(x)=0$ , por lo que termina teniendo la forma...
$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$

Si no se puede expresar de esta forma se dice que no es homogénea.

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes

Iniciemos con una ecuación de la forma...
$$ay''+by'+cy=0$$
Se puede resolver con los siguientes pasos...

Soluciones elementales

Tienes la siguiente ecuación típica
$$(1)y''+(0)y'+(-1)y=0$$
$$y''-y=0$$
$$y''=y$$
$$f''(x)=f(x)$$
Recuerda que para resolver la ecuación diferencial se necesita una solución $y=f(x)$ cuya segunda derivada sea la misma que la propia $f(x)$, ya que al restar $f''(x)-f(x)=0$

Algo curioso es que alfo que cumple esta condición (como recordaras en cursos anteriores de cálculo diferencial e integral) es...
$$e^x$$
$$y=e^x$$
Ya que
$$\frac{d''(e^x)}{dx^2}=e^x$$
$$e^x=e^x$$
$$e^x-e^x=0$$

Por lo que $y=e^x$ es una solución...

Una nota importante es que $y=c_1e^x$ también es una solución, ya que también es una solución para $y''$ esto por el siguiente modelo de ecuaciones diferenciales...
$$\frac{d}{dx}cv=c\frac{dv}{dx}$$
Por lo que...
$$c_{1}e^x-c_{1}e^x=0$$
De hecho la solución $y=c_1e^x$ es una solución más general, ya que representa las infinitas posibilidades o soluciones, dependiendo del valor de $c_1$.

Puedes probar con otras soluciones por ejemplo...
$y=e^{-x}$, es también una solución, por lo que...
$$y''-y=0$$
$$e^{-x}-e^{-x}=0$$
Generalizando...
$$c_{2}e^{-x}-c_{2}e^{-x}=0$$
Entonces al tener dos soluciones $y=c_{1}e^x$ y $y=c_{2}e^{-x}$, al sumar también debe ser una solución...

Esto por la siguiente propiedad de las derivadas...
$$\frac{d(u+v-w)}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}-\frac{dw}{dx}$$
Lo cuál nos lleva a la misma solución.
$y=c_1e^x-c_2e^{-x}$

Concluyendo que si $y=f_1(x)$ e $y=f_2(x)$ son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden entonces...
$$y=f_{1}(x)+f_{2}(x)$$
También es una solución.

Condiciones iniciales

Supongamos que tenemos dos condiciones iniciales
- $y(0)=9$ por lo que cuando $y=9$ $x=0$
- $y'(0)=-1$ por lo que cuando $y=-1$ $x=0$

Usemos la solución $y=c_1e^x+c_{2}e^{-x}$, derivamos para obtener $y'=c_1e^x-c_{2}e^{-x}$ usando condiciones iniciales se obtiene...
- $y(0)=c_{1}e^0+c_{2}e^{0}=c_{1}+c_{2}=9$
- $y'(0)=c_{1}e^0-c_{2}e^{0}=c_{1}-c_{2}=-1$

Nota que las condiciones iniciales toman la forma de un sistema de ecuaciones...
$$ \begin{align*} c_{1} + c_{2} &= 9 \ c_{1} - c_{2} &= -1 \end{align*} $$
Resolviendo el sistema (Recuerda tus clases de Algebra lineal o usando algún método como suma y resta) obtenemos.
$c_{1}=4$
$c_{2}=5$

Sustituimos y tenemos la siguiente solución...
$$y=4e^{x}+5e^{-x}$$

Lo anterior se puede generalizar como la solución a cualquier solución de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes.

Características de la ecuación anterior...

Cuando se tiene una ecuación diferencial de la forma
$$ay''+by'+cy=0$$
La solución de esta forma es $y=e^{rx}$
$$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$
Simplificando
$$[ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0]\frac{1}{e^{rx}}$$
$$ar^2+br+c=0$$
Ahora hallamos las raíces de la ecuación cuadrática anterior y tenemos la solución
$$y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}$$

Aquí puedes aplicar condiciones iniciales...

Nota importante...
Pueden haber tres casos en la solución anterior.
1. $r_1$ y $r_2$ son reales y distintos
2. $r_1$ y $r_2$ son números complejos
3. $r_1$ y $r_2$ son reales y e iguales

Te recomiendo leer los libros para los casos 2 y 3.

Reducción de orden

Se basa en conocer ya una solución de la ecuación diferencial de segundo orden, y con esta obtener otra solución.

Si se tiene una ecuación de la forma
$$y''+p(x)y'+q(x)=0$$
Se puede sustituir en la expresión para buscar otra solución.

El método de reducción de orden se utiliza cuando ya conocemos una solución $y_1(x)$ a una ecuación diferencial de la forma
$$y'' + p(x)y' + q(x) = 0$$
Si conocemos esta solución, podemos buscar una segunda solución sustituyendo la expresión
$$y(x) = m(x)y_1(x)$$
en la ecuación. Importante notar que la ecuación original puede aplicarse a ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, siempre y cuando sea homogénea (igual a cero).

Diferenciando $y(x) = m(x)y_1(x)$ respecto a $x$, obtenemos
$$y'(x) = m'(x)y_1(x) + m(x)y_1'(x)$$
y para la segunda derivada de $y(x) = m(x)y_1(x)$, tenemos
$$y''(x) = m''(x)y_1(x) + 2m'(x)y_1'(x) + m(x)y_1''(x)$$

Al sustituir $y'(x)$ e $y''(x)$ en la ecuación $y'' + p(x)y' + q(x) = 0$, obtenemos
$$y_1m'' + (2y_1' + py_1)m' + (y_1'' + py_1' + qy_1) = 0$$

La expresión en el segundo paréntesis, $y_1'' + py_1' + qy_1$, es simplemente $y_1$ sustituido en la ecuación diferencial original. Como $y_1$ es una solución de esa ecuación diferencial homogénea, la expresión entre paréntesis es igual a 0. Por lo tanto, la ecuación se reduce a
$$y_1m'' + (2y_1' + py_1)m' = 0$$

Aunque puede parecer complejo, lo que tenemos aquí es una ecuación diferencial de primer orden en $m'(x)$. Si hacemos la sustitución $n(x) = m'(x)$ en la ecuación, obtenemos
$$y_1n' + (2y_1' + py_1)n = 0$$

Esta última ecuación es una ecuación diferencial de primer orden en $n(x)$ y a menudo puede resolverse como una ecuación diferencial lineal de primer orden o como una ecuación diferencial separable (En este caso se llega a la formula del formulario).

Uniendo todo

Un par de teoremas formales, que explico en las siguientes secciones, definen exactamente cómo encontrar las soluciones generales de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden y formalizan la información de secciones anteriores.

Superposición

Al explorar el Teorema de Superposición de Soluciones, encontramos un principio fundamental para las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden. Este teorema establece lo siguiente:

Dada la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden:
$$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$$

Si identificamos dos soluciones particulares, $y_1(x)$ y $y_2(x)$, entonces cualquier combinación lineal de estas soluciones:
$$y = c_1y_1 + c_2y_2$$
donde $c_1$ y $c_2$ son constantes arbitrarias, también constituye una solución válida de la ecuación diferencial.

En esencia, este teorema nos revela que la combinación de dos soluciones a una ecuación diferencial lineal de segundo orden produce otra solución. A lo largo de la primera parte de este capítulo, aplicaremos este teorema para resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden. Al encontrar dos soluciones, $y_1$ y $y_2$, podemos expresar la solución general como una combinación lineal de ambas.

Independencia lineal

Cuando se hallan soluciones $y_1$ e $y_2$ existe una restricción más tienen que ser linealmente independientes

Son dependientes cuando una solución de la forma
$$c_{1}f(x)+c_{2}g(x)=0$$
Solo $f(x)$ y $g(x)$ se diferencian por la constante.

Si una función no es simplemente múltiplo de otra función, las dos son linealmente independientes.

Ejemplo
Tenemos la E.D
$$y''+6y'+8y=0$$
Resolviendo por coeficientes constantes...
Tenemos que...
- $y_1=c_{1}e^{-4x}$
- $y_2=c_{2}e^{-2x}$
$$y=c_{1}e^{-4x}+c_{2}e^{-2x}$$
Esta solución es linealmente independiente, ya que no solo difieren por la constante que los multiplican.

El Wronskiano

El Wronskiano es el determinante de una serie de coeficientes que permite determinar la independencia lineal de las soluciones de una ecuación diferencial.

Cuando se tiene una E.D.H con una solución general de la forma
$$y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$$
Y supongamos que tiene las siguientes condiciones iniciales...
- $y(x_0)=y_0$
- $y'(x_{0})=y'_{0}$

Las condiciones iniciales indican que las constantes $c_1$ y $c_2$ deben satisfacer esas ecuaciones.
- $y_{0}=c_{1}y_{1}(x_{0})+c_{2}y_{2}(x_{0})$
- $y'_{0}=c_{1}y'_{1}(x_{0})+c_{2}y'_{2}(x_{0})$

Resolviendo el sistemas de ecuaciones...

$$ c_1 = \frac{y_0 y'_2(x_0) - y'_0 y_2(x_0)}{y_1(x_0) y'_2(x_0) - y'_1(x_0) y_2(x_0)} $$
$$ c_2 \frac{y_1(x_0) y'_0 - y'_1(x_0) y_0}{y_1(x_0) y'_2(x_0) - y'_1(x_0) y_2(x_0)} $$
Esto se ve muy intimidante, sin embargo se parece a la división de dos determinantes de matriz

Recuerda que
Dada la matriz:
$$ \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} $$

El determinante de esta matriz se calcula como:

$$ \text{det} = ad - bc $$

Por lo que tenemos.

$$ c_1 = \frac{\begin{vmatrix} y_0 & y_2(x_0) \ y'_0 & y'_2(x_0) \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \ y'_1(x_0) & y'_2(x_0) \end{vmatrix}} $$
$$ c_2 = \frac{\begin{vmatrix} y_1(x_0) & y_0 \ y'_1(x_0) & y'_0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \ y'_1(x_0) & y'_2(x_0) \end{vmatrix}} $$
Para que $c_1$ y $c_2$ tengan sentido en estas expresiones, el denominador debe ser distinto de cero, entonces...
$$ W = \begin{pmatrix} y_{1}(x_{0}) & y_{2}x_{0} \ y'_{1}(x_{0}) & y'_{2}x_{0} \end{pmatrix} = y_{1}(x_{0})y'_{2}(x_{0})-y'(x_{0})y_{2}(x_{0}) \neq 0 $$

Aquí esta el Wronskiano de las soluciones $y_1$ e $y_2$:
$$ W = y_{1}(x_{0})y'_{2}(x_{0})-y'(x_{0})y_{2}(x_{0}) \neq 0$$
Wronskiano es una medida de independencia lineal. Considere esto, por ejemplo: si tiene dos soluciones, $y_1$ e $y_2$, y su valor Wronskiano es distinto de cero, entonces esas soluciones son linealmente independientes. Y eso, amigo mío, significa que cada solución de la ecuación diferencial es una combinación lineal de esas dos soluciones.

Teorema formal

Con lo anterior podemos establecer lo siguiente...
- Si tienes una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden:
$$y''+p(x)y'+q(x)=0$$
- Y tienes dos soluciones $y_1(x)$ e $y_2(x)$, donde su Wronskiano es distinto de cero en un punto $x_0$, entonces cualquier combinación lineal de estas soluciones:
$$y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$$
Donde $c_1$ y $c_2$ son constantes, es la solución general de la ecuación diferencial. Cada solución de la ecuación diferencial se puede expresar en la forma $y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$.

Aquí está la esencia de este teorema formal: si el Wronskiano de tus dos soluciones es distinto de cero en un punto $x_0$, entonces una combinación lineal de esas soluciones contiene todas las soluciones de la ecuación diferencial. En otras palabras, si tienes dos, $y_1$ e $y_2$ y su Wronskiano es distinto de cero, entonces es la solución general de la ecuación diferencial correspondiente.

$$y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$$
Con esta teoría preliminar estas listo para ver los temas que vienen...