Antecedentes.
Mientras realizaba esta investigación muchas veces tope con pared, esto debido a lo abstracto que me pareció el concepto de ecuación diferencial.
[! important]
Si las derivadas calculan la pendiente (tasa de cambio), las integrales áreas, las funciones vectoriales planos, rectas y uno que otro volumen ¿Qué hacen las ecuaciones diferenciales? 🤔
Imagina la siguiente situación, estas en Oaxaca, pero por la gentrificación todo sube, como te interesa saber si tus pesitos alcanzaran a futuro empiezas a predecir el incremento de los costos de un elote. [1]
| Mes | Precio |
|---|---|
| 1 | 15 |
| 2 | 17 |
| 3 | 19 |
| 4 | 21 |
| 5 | 23 |
| 6 | 25 |
Con es ritmo de precios tan apresurados ¿Cuál será el precio durante un año?
Podemos hacer la siguiente gráfica
La pendiente es $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ dado que los precios son lo mismo que $y$ y el tiempo expresado en meses es lo mismo que $x$ entonces
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$
Por los datos de la tabla sabes que el incremento o la variación de los precios es constante por lo que se incrementa 2 pesos al mes entonces
$$ \frac{\Delta p}{\Delta t} = \text{\$2 \,cada \,mes} $$
Como la tasa de cambio es contante esto también se puede escribir como
$$\frac{d p}{\ d t} = 2$$
Sorpresa, tienes una ecuación diferencial 🥳
Respecto a la solución, hay diferentes métodos (que no abordaremos en este momento, calma), por intuición, la tabla y la gráfica sabemos que es el precio es
$$p = 2t+c$$
En esta ecuación
- $p$ es el precio medido en pesos.
- $t$ es el tiempo medido en meses.
- $c$ es una constante arbitraria que nos ayuda a determinar las condiciones iniciales del problema.
Podemos calcular $c$ de la siguiente manera
$$15 = 2 + c$$
$$15 - 2 = c$$
$$13 = c$$
Por lo que la expresión final queda de la siguiente manera:
$$p = 2t + 13$$
Entonces si queremos saber a cuánto estará un elote en un año (12 meses) simplemente sustituimos $p = 2(12) + 13$ lo que nos da $37.
Como pudo observar así es como funciona cualquier ecuación diferencial típica:
Tienes una ecuación diferencial para la tasa a la que cambia cierta cantidad (en este caso el precio), y luego resuelves la ecuación diferencial para obtener otra ecuación, que en este caso relaciona el tiempo con el precio.
Nota si sustituyes $p = 2t + 13$ en la ecuación diferencial $\frac{d p}{\ d t}$ tendrás el valor $2$ como debería ser.
Conclusión: En resumen, las ecuaciones diferenciales, aunque puedan parecer abstractas al principio, son herramientas fundamentales para modelar y entender cambios en el tiempo o el espacio. En el caso del aumento de precios de los elotes en Oaxaca, pudimos expresar la tasa de cambio constante mediante una ecuación diferencial simple. La resolución de esta ecuación nos proporcionó una fórmula que relaciona el tiempo con el precio, permitiéndonos realizar predicciones futuras. Este ejemplo ilustra cómo las ecuaciones diferenciales se utilizan para entender y prever fenómenos dinámicos en diversas áreas. 📓💻
Bueno ahora a lo que sigue...
1.1.1 Definiciones
Ecuación diferencial
Podemos ver las siguientes definiciones:
- "Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene diferenciales de la variable dependiente y de la variable independiente. Asimismo, es una igualdad que contiene una o más derivadas." [2]
- "Una ecuación que contiene las derivadas de una o más funciones desconocidas (o variables dependientes) respecto a una o más variables independientes, se llama Ecuación Diferencial (ED)."[2]
Generalizando, podemos decir que una ecuación diferencial es de la siguiente forma:
$$\frac{dy}{dt} = y'=f(x,y)$$
$$\frac{d^{2}y}{dt^{2}} = y''=f(x,y, y'')$$
$$\frac{d^{n}y}{dt^{n}} = y^{n}=f(x,y,y', \dots y^{n})$$
En este caso $y$ es la variable dependiente y $x$ es la variable independiente.
En general, ¿Para que sirven las ecuaciones diferenciales? La respuesta general es para modelar problemas de cambio. A través de una ecuación diferencial se pueden modelar cambios de cualquier variable, por ejemplo, de posición, de temperatura, de población, de capital; en fin, de cualquier cambio que se presente en la vida cotidiana.
Orden de una ecuación diferencial
La clasificación más común de ecuaciones diferenciales se basas en el orden. El orden de una ecuación diferencial es simplemente el orden de su derivada más alta. Por ejemplo...
El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada más alta contenida en ella.
- Primer Orden $f(x,y,y')=0$ $$\frac{dy}{dx}=5x$$
- Segundo Orden $f(x,y,y', y'')=0$ $$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}=19x+4$$
- Orden $n$ $f(x,y,y', y'', \dots, y^{n})=0$
Grado de una ecuación diferencial
El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada de forma polinomial
Es el mayor exponente de la mayor derivada.
| Ecuaciones | Orden | Grado |
|---|---|---|
| $y''+3y'-2y=5x^{2}$ | 2 | 1 |
| $(y')^{3}+5xy^{2}=4x$ | 1 | 3 |
| $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+5\frac{dy}{dx}-3xy=x^{5}$ | 2 | 1 |
| $(\frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{5}+5\frac{dy}{dx}-3xy=x^5$ | 2 | 5 |
Linealidad de una ecuación Diferencial
Se llama lineal a una ecuación diferencial si involucra exclusivamente términos lineales (es decir elevados a $1$) de $y,y',y'',\dots,y^{n}$
Por ejemplo
$$L\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{c}Q=E(t)$$
Si una ecuación posee elementos no lineales No es una ecuación lineal
- Funciones trigonométricas, logarítmicas.
- Funciones exponenciales.
- Etc.
Si $x$ es la variable independiente y $y$ es la variable dependiente:
$$a_{n}(x)\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\dots+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=g(x)$$
Importante: La linealidad se toma de a cuerdo a la variable dependiente (en este caso $y$) si otra variable independiente (por ejemplo $x$) posee alguna función no lineal, no es de nuestro interés.
| Función | Orden | Grado | Linealidad |
|---|---|---|---|
$\frac{dy}{dx}-\cos(x)y=2$ |
$1$ | $1$ | Lineal en $y$ |
| $(\frac{d^{2}y}{dt^{2}})^{3}-2(\frac{dy}{dt})^{4}+y=e^{t}$ | $2$ | $3$ | No lineal en $y$ |
| $\frac{dy}{dt}-\frac{dx}{dt}+x=\cos(t)$ | $1$ | $1$ | Lineal en $x$ y en $y$ |
| $\frac{dy}{dx}-\sin(y)=x$ | $1$ | $1$ | No lineal en $y$ |
*Corregir :)
1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales
La solución de una ecuación diferencial es una función $y=\phi(x)$, determinada en el intervalo $(a,b)$, con sus derivadas sucesivas que satisfacen dicha ecuación. Esto significa que al sustituir dicha función y sus derivadas en la ecuación diferencial se obtiene una identidad de $x$ en el intervalo $(a,b)$.
Por ejemplo la función $y = sen(x) +cos(x)$ es solución de la ecuación diferencial $y'=cos(x) - sen(x)$, sustituyendo en la ecuación diferencial, se obtiene:
$$\cos(x) - \sin(x) = \cos(x)-\sin(x)$$
La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se llama curva integral de la ecuación.
1.1.3 Problema del valor inicial
Es cuando aparte de la ecuación diferencial típica:
$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$
Se nos da algo llamado condición inicial que no es más que un simple valor para encontrar la función correcta...
$$y(x_{0})=y_{0}$$
Por ejemplo al resolver la siguiente ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}=x$ obtenemos la siguiente solución
Esto se verá apenas al momento de resolver ecuaciones diferenciales, así que si no queda claro ntp ☺
$$dy=xdx$$
Integramos para poder resolver
$$\int dy=\int x dx$$
$$y = \frac{x^{2}}{2}+C$$
Nota: a pesar de que el resultado refleja una función el $+C$ hace que sean infinitas funciones, por lo que no sabemos cual es la correcta, tendríamos infinitas posibilidades al graficar ya que $C$ representa a cualquier número que exista...
Esto se puede ver de otra forma gráfica usando un campo direccional de $\frac{dy}{dx}=x$ las curvas del siguiente esquema (similar al que se vio en clase, ya que el profe no nos quizó enredar al integrar).
Para esto nos sirve conocer el $y(x_{0})=y_{0}$ o la condición inicial, para saber específicamente a que función nos referimos.
Sin embargo, nunca faltara el despistado, que nos de una condición inicial con el que simple y sencillamente no se puede elegir una función, para eso se usa el teorema a continuación.
1.1.4 Teorema de existencia y unicidad
El teorema de Cauchy garantiza la existencia y unicidad de la solución bajo ciertas condiciones restrictivas.
Imagina el siguiente caso: Ya resolviste la ecuación diferencial, ahora solo te falta aplicar la condición inicial para ver tu hermosa y bella gráfica, pero sorpresa no se puede crear una 😠
Buscamos una solución inicial con la que la función tenga solución, existe el siguiente teorema...
Aquí una breve explicación
Tenemos la siguiente ecuación diferencial
$$\frac{dy}{dx}=\sqrt{y}$$
Y la siguiente condición inicial
$$y(0)=1$$
Que es lo mismo a la coordenada $(0,1)$
Crea las restricciones para $y$ y de existir para $x$
1. Ahora tienes que buscar las continuidades (o cuando si es posible ubicar ese valor en la gráfica)
- $\frac{dy}{dx}=\sqrt{y}$: Al no existir raíces negativas forzosamente $y\geq0$
2. Obtén la derivada parcial respecto a $y$
- $\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{1}{2\sqrt{y}}$: Como un número no se puede dividir entre cero y no pueden haber raíces negativas $y>0$
Ahora pregúntate ¿Mi condición inicial viola alguna restricción?
- Si no viola ninguna restricción como en este caso $(0,1)$ entonces si tiene solución y es única
- En caso de que se hubiera dado una condición inicial como $(0,-12)$ se violaría las restricciones por lo que no tendría solución.
Importante:
Si una condición inicial viola las restricciones necesarias (Como la $(0,-12)$) para la existencia y unicidad de la solución, el problema del valor inicial puede carecer de solución o tener múltiples soluciones, dependiendo de la naturaleza específica de la ecuación diferencial y las condiciones del problema.
Recuerda que las restricciones 1 y 2 se pueden escribir de manera mucho más formal
1. $(x,y) \in \mathbb{R} \colon y \leq 0$
2. $(x,y) \in \mathbb{R} \colon y > 0$
Y dado que no se viola ninguna restricción se puede dibujar un rectángulo con puntos dentro de las restricciones permitidas para hacer más gráfico el esquema.
En nuestro caso particular el P.V.I. tiene solución y es única.
Referencias
Aparte de las clases del ITO...
[1]: Holzner, S. (2008). Differential Equations for Dummies. Wiley Publishing, Inc.
[2]: Zill, D. G. (2018). Ecuaciones Diferenciales con problemas en la frontera.
[3]: Wikipedia. (2024, 1 de febrero). Problema de valor inicial. Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_valor_inicial