By: Jesús Ángel Martínez Mendoza | 2024

Modelos matemáticos

Lineal

Dada una serie da valores, o puntos.

$x$	$f(x)$
$\dots$	$\dots$
$x_{-1}$	$f(x_{-1})$
$x_{0}$	$f(x_{0})$
$x_{1}$	$f(x_{1})$
$\dots$	$\dots$

Si queremos conocer un valor de $x$ entre $x_{0}$ y $x_{1}$ con la condición de que
$$x_{0} < x < x_{1}$$
Se aplica la siguiente formula
$$f(x)=f(x_{0})+\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}(x - x_{0})$$
Para comprobar el resultado al ser una línea (creciente) basta con que se cumpla la siguiente condición
$$f(x_{0}) < f(x) < f(x_{1})$$

Si es decreciente es
$$f(x_{0}) > f(x) > f(x_{1})$$

Cuadrada por Interpolación de Newton

Dado una serie de puntos de la forma

$(x_{0}, f(x_{0}))$

$(x_{1}, f(x_{1}))$

$(x_{2}, f(x_{2}))$

Se calculan los siguientes valores $$b_{0}=f(x_{0})$$ $$b_{1}=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$$ $$b_{2}=\frac{\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}-\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}{x_{2}-x_{0}}$$
Se sustituyen en la siguiente expresión $$f(x)=b_{0}+b_{1}(x-x_{0})+b_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})$$
Reducimos la expresión y obtenemos algo de la forma $$c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$$
Podemos comprobar usado las $x$ obteniendo sus respectivos $f(x)$

Cúbica por Interpolación de Newton

Dado una serie de puntos
$(x_{0},f(x_{0}))$
$(x_{1},f(x_{1}))$
$(x_{2},f(x_{2}))$
$(x_{3},f(x_{3}))$
Calcula los siguientes valores

$$b_{0}=f(x_{0})$$
$$b_{1}=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$$
$$b_{2}=\frac{\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}-\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}{x_{2}-x_{0}}$$
$$b_{3}=\frac{\frac{f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}-\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}-\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}{x_{3}-x_{0}}$$
3. Sustituye en la siguiente expresión
$$f(x)=b_{0}+b_{1}(x-x_{0})+b_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+b_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})$$
4. Reducimos la expresión y nos queda de la forma.
$$c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$$
5. Podemos comprobar usado las $x$ obteniendo sus respectivos $f(x)$

Interpolación Cuadrática de Lagrange

Dado una serie de puntos de la forma
$(x_{0}, f(x_{0}))$
$(x_{1}, f(x_{1}))$
$(x_{2}, f(x_{2}))$
Se calculan los siguientes valores
$$a_{0}=\frac{f(x_{0})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}$$
$$a_{1}=\frac{f(x_{1})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}$$
$$a_{2}=\frac{f(x_{2})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}$$
Se sustituyen en la siguiente expresión
$$a_{0}(x-x_{1})(x-x_{2})+a_{1}(x-x_{0})(x-x_{2})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})$$
Reducimos la expresión y obtenemos algo de la forma
$$c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$$
Podemos comprobar usado las $x$ obteniendo sus respectivos $f(x)$

Interpolación Cúbica de Lagrange

Dado una serie de puntos
$(x_{0},f(x_{0}))$
$(x_{1},f(x_{1}))$
$(x_{2},f(x_{2}))$
$(x_{3},f(x_{3}))$
Calcula los siguientes valores en este caso llamado Lagranges
$$L_{0}=\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{3})}$$
$$L_{1}=\frac{(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}$$
$$L_{2}=\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}$$
$$L_{3}=\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}$$
Sustituye en la siguiente expresión
$$P_{n}(x)=f(x_{0})L_{0}(x)+f(x_{1})L_{1}(x)+f(x_{2})L_{2}(x)+f(x_{3})L_{3}(x)$$
Reducimos la expresión y nos queda de la forma.
$$c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$$
Podemos comprobar usado las $x$ obteniendo sus respectivos $f(x)$

`Scripts` en Python

Lineal

print("\tINTERPOLACION LINEAL")

print("\t1. INSERTE DATOS")
x0 = float(input("x0: "))
fx0 = float(input("f(x0): "))  
x1 = float(input("x1: "))
fx1 = float(input("f(x1): "))  
x = float(input("x:  "))      

print("\t2. SUSTITUIR")
print("f(x) = f(x0) + (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0) * (x - x0)")
# Expresión con los valores sustituidos
interpolated_expression = f"{fx0} + ({fx1} - {fx0}) / ({x1} - {x0}) * ({x} - {x0})"
print(f"f(x) = {interpolated_expression}")

print("\t3. RESULTADO")
# Calcula el valor interpolado usando los valores ingresados
result = fx0 + (fx1 - fx0) / (x1 - x0) * (x - x0)
print(f"El valor interpolado de f(x) en x = {x} es {result}")

Cuadrada por Interpolación de Newton

def calcular_coeficientes_newton(x0, fx0, x1, fx1, x2, fx2):
    print("\tCalculando Coeficientes:")
    b0 = fx0
    print(f"b0 (f(x0)) = {b0}")

    b1 = (fx1 - fx0) / (x1 - x0)
    print(f"b1 = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0) = ({fx1} - {fx0}) / ({x1} - {x0}) = {b1}")

    b2 = ((fx2 - fx1) / (x2 - x1) - b1) / (x2 - x0)
    print(f"b2 = ((f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) - b1) / (x2 - x0) = (({fx2} - {fx1}) / ({x2} - {x1}) - {b1}) / ({x2} - {x0}) = {b2}")

    return b0, b1, b2

def formar_funcion_cuadratica(x0, x1, b0, b1, b2):
    print("\tFormando la Función Polinómica:")
    print("Partiendo de la fórmula general:")
    print(f"f(x) = {b0} + {b1}(x - {x0}) + {b2}(x - {x0})(x - {x1})")

    # Transformación de la función en la forma polinómica estándar
    c2 = b2
    c1 = b1 - b2 * (x0 + x1)
    c0 = b0 - b1 * x0 + b2 * x0 * x1

    print(f"Desarrollando cada término:")
    print(f"c2 = b2 = {c2}")
    print(f"c1 = b1 - b2*(x0 + x1) = {b1} - {b2}*({x0} + {x1}) = {c1}")
    print(f"c0 = b0 - b1*x0 + b2*x0*x1 = {b0} - {b1}*{x0} + {b2}*{x0}*{x1} = {c0}")

    return c2, c1, c0

print("Interpolación Cuadrada por Newton")
print("1. Inserte los datos:")
x0 = float(input("x0: "))
fx0 = float(input("f(x0): "))
x1 = float(input("x1: "))
fx1 = float(input("f(x1): "))
x2 = float(input("x2: "))
fx2 = float(input("f(x2): "))

b0, b1, b2 = calcular_coeficientes_newton(x0, fx0, x1, fx1, x2, fx2)

c2, c1, c0 = formar_funcion_cuadratica(x0, x1, b0, b1, b2)

print("3. Función Polinómica Reducida:")
funcion_cuadratica = f"f(x) = {c2}x^2 + {c1}x + {c0}"
print(funcion_cuadratica)

print("4. Comprobación con los puntos dados:")
for x, fx in [(x0, fx0), (x1, fx1), (x2, fx2)]:
    fx_calculado = c2 * x**2 + c1 * x + c0
    print(f"f({x}) = {fx_calculado}, esperado {fx}")

Cúbica por Interpolación de Newton

def calcular_coeficientes_newton_cubica(x0, fx0, x1, fx1, x2, fx2, x3, fx3):
    print("\tCalculando Coeficientes:")

    # Coeficiente b0 directamente de f(x0)
    b0 = fx0
    print(f"b0 = f(x0) = {b0}")

    # Coeficiente b1 a partir de la primera diferencia dividida
    b1 = (fx1 - fx0) / (x1 - x0)
    print(f"b1 = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0)")
    print(f"\t({fx1} - {fx0}) / ({x1} - {x0}) = {b1}")

    # Coeficiente b2 a partir de la segunda diferencia dividida
    primera_dif_21 = (fx2 - fx1) / (x2 - x1)
    primera_dif_10 = (fx1 - fx0) / (x1 - x0)
    b2 = (primera_dif_21 - primera_dif_10) / (x2 - x0)
    print(f"b2 = ((f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) - (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0)) / (x2 - x0)")
    print(f"\t(({fx2} - {fx1}) / ({x2} - {x1}) - ({fx1} - {fx0}) / ({x1} - {x0})) / ({x2} - {x0}) = {b2}")

    # Coeficiente b3 a partir de la tercera diferencia dividida
    segunda_dif_32 = (fx3 - fx2) / (x3 - x2)
    segunda_dif_21 = (fx2 - fx1) / (x2 - x1)
    b3 = (segunda_dif_32 - segunda_dif_21 - primera_dif_10) / (x3 - x0)
    print(f"b3 = (((f(x3) - f(x2)) / (x3 - x2) - (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)) - ((f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) - (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0))) / (x3 - x0)")
    print(f"\t((({fx3} - {fx2}) / ({x3} - {x2}) - ({fx2} - {fx1}) / ({x2} - {x1})) - (({fx2} - {fx1}) / ({x2} - {x1}) - ({fx1} - {fx0}) / ({x1} - {x0}))) / ({x3} - {x0}) = {b3}")

    return b0, b1, b2, b3

def formar_funcion_cubica(x0, x1, x2, b0, b1, b2, b3):
    print("\tFormando la Función Polinómica:")
    print("Partiendo de la fórmula general:")
    print(f"f(x) = {b0} + {b1}(x - {x0}) + {b2}(x - {x0})(x - {x1}) + {b3}(x - {x0})(x - {x1})(x - {x2})")

    # Transformación de la función en la forma polinómica estándar
    c3 = b3
    c2 = b2 - b3 * (x0 + x1 + x2)
    c1 = b1 - b2 * (x0 + x1) + b3 * (x0 * x1 + x1 * x2 + x2 * x0)
    c0 = b0 - b1 * x0 + b2 * x0 * x1 - b3 * x0 * x1 * x2

    print(f"Desarrollando cada término:")
    print(f"c3 = b3 = {c3}")
    print(f"c2 = b2 - b3*(x0 + x1 + x2) = {b2} - {b3}*({x0} + {x1} + {x2}) = {c2}")
    print(f"c1 = b1 - b2*(x0 + x1) + b3*(x0*x1 + x1*x2 + x2*x0) = {b1} - {b2}*({x0} + {x1}) + {b3}*({x0*x1} + {x1*x2} + {x2*x0}) = {c1}")
    print(f"c0 = b0 - b1*x0 + b2*x0*x1 - b3*x0*x1*x2 = {b0} - {b1}*{x0} + {b2}*{x0*x1} - {b3}*{x0*x1*x2} = {c0}")

    return c3, c2, c1, c0

print("Interpolación Cúbica por Newton")
print("1. Inserte los datos:")
x0 = float(input("x0: "))
fx0 = float(input("f(x0): "))
x1 = float(input("x1: "))
fx1 = float(input("f(x1): "))
x2 = float(input("x2: "))
fx2 = float(input("f(x2): "))
x3 = float(input("x3: "))
fx3 = float(input("f(x3): "))

b0, b1, b2, b3 = calcular_coeficientes_newton_cubica(x0, fx0, x1, fx1, x2, fx2, x3, fx3)

c3, c2, c1, c0 = formar_funcion_cubica(x0, x1, x2, b0, b1, b2, b3)

print("3. Función Polinómica Reducida:")
funcion_cubica = f"f(x) = {c3}x^3 + {c2}x^2 + {c1}x + {c0}"
print(funcion_cubica)

print("4. Comprobación con los puntos dados:")
for x, fx in [(x0, fx0), (x1, fx1), (x2, fx2), (x3, fx3)]:
    fx_calculado = c3 * x**3 + c2 * x**2 + c1 * x + c0
    print(f"f({x}) = {fx_calculado}, esperado {fx}")

Interpolación Cuadrática de Lagrange

def calcular_coeficientes_lagrange(x0, fx0, x1, fx1, x2, fx2):
    print("\tCalculando Coeficientes de Lagrange:")

    # Coeficientes a0, a1, a2
    a0 = fx0 / ((x0 - x1) * (x0 - x2))
    print(f"a0 = f(x0) / ((x0 - x1) * (x0 - x2)) = {fx0} / (({x0} - {x1}) * ({x0} - {x2})) = {a0}")

    a1 = fx1 / ((x1 - x0) * (x1 - x2))
    print(f"a1 = f(x1) / ((x1 - x0) * (x1 - x2)) = {fx1} / (({x1} - {x0}) * ({x1} - {x2})) = {a1}")

    a2 = fx2 / ((x2 - x0) * (x2 - x1))
    print(f"a2 = f(x2) / ((x2 - x0) * (x2 - x1)) = {fx2} / (({x2} - {x0}) * ({x2} - {x1})) = {a2}")

    return a0, a1, a2

def formar_funcion_cuadratica(x0, x1, x2, a0, a1, a2):
    print("\tFormando la Función Polinómica:")
    # Expresión completa de Lagrange
    print(f"f(x) = {a0}*(x-{x1})*(x-{x2}) + {a1}*(x-{x0})*(x-{x2}) + {a2}*(x-{x0})*(x-{x1})")

    # Expansión a forma polinómica
    c2 = a0 + a1 + a2
    c1 = -a0 * (x1 + x2) - a1 * (x0 + x2) - a2 * (x0 + x1)
    c0 = a0 * x1 * x2 + a1 * x0 * x2 + a2 * x0 * x1

    print(f"Función polinómica reducida: f(x) = {c2}x^2 + {c1}x + {c0}")
    return c2, c1, c0

print("Interpolación Cuadrática de Lagrange")
print("Por favor, ingrese los datos:")

x0 = float(input("Ingrese x0: "))
fx0 = float(input("Ingrese f(x0): "))
x1 = float(input("Ingrese x1: "))
fx1 = float(input("Ingrese f(x1): "))
x2 = float(input("Ingrese x2: "))
fx2 = float(input("Ingrese f(x2): "))

a0, a1, a2 = calcular_coeficientes_lagrange(x0, fx0, x1, fx1, x2, fx2)
c2, c1, c0 = formar_funcion_cuadratica(x0, x1, x2, a0, a1, a2)

print("\n3. Función Polinómica Reducida:")
funcion_cuadratica = f"f(x) = {c2}x^2 + {c1}x + {c0}"
print(funcion_cuadratica)

print("\n4. Comprobación con los puntos dados:")
for x, fx_expected in [(x0, fx0), (x1, fx1), (x2, fx2)]:
    fx_calculated = c2 * x**2 + c1 * x + c0
    print(f"f({x}) calculado = {fx_calculated}, valor esperado = {fx_expected}")

Interpolación Cúbica de Lagrange

def calcular_coeficientes_lagrange_cubica(x0, fx0, x1, fx1, x2, fx2, x3, fx3):
    print("\tCalculando Coeficientes de Lagrange:")

    # Coeficientes L0, L1, L2, L3
    # Aquí 'x' es una variable simbólica
    from sympy import symbols
    x = symbols('x')

    L0 = ((x - x1) * (x - x2) * (x - x3)) / ((x0 - x1) * (x0 - x2) * (x0 - x3))
    print(f"L0 = ((x - {x1}) * (x - {x2}) * (x - {x3})) / (({x0} - {x1}) * ({x0} - {x2}) * ({x0} - {x3})) = {L0}")

    L1 = ((x - x0) * (x - x2) * (x - x3)) / ((x1 - x0) * (x1 - x2) * (x1 - x3))
    print(f"L1 = ((x - {x0}) * (x - {x2}) * (x - {x3})) / (({x1} - {x0}) * ({x1} - {x2}) * ({x1} - {x3})) = {L1}")

    L2 = ((x - x0) * (x - x1) * (x - x3)) / ((x2 - x0) * (x2 - x1) * (x2 - x3))
    print(f"L2 = ((x - {x0}) * (x - {x1}) * (x - {x3})) / (({x2} - {x0}) * ({x2} - {x1}) * ({x2} - {x3})) = {L2}")

    L3 = ((x - x0) * (x - x1) * (x - x2)) / ((x3 - x0) * (x3 - x1) * (x3 - x2))
    print(f"L3 = ((x - {x0}) * (x - {x1}) * (x - {x2})) / (({x3} - {x0}) * ({x3} - {x1}) * ({x3} - {x2})) = {L3}")

    Pn = fx0 * L0 + fx1 * L1 + fx2 * L2 + fx3 * L3
    print(f"\nPn(x) = {fx0}*L0 + {fx1}*L1 + {fx2}*L2 + {fx3}*L3")
    print(f"Reduced Polynomial: {Pn.expand()}")

    return Pn.expand()

# Solicitar datos de usuario
print("Interpolación Cúbica de Lagrange")
print("Por favor, ingrese los datos:")

x0 = float(input("Ingrese x0: "))
fx0 = float(input("Ingrese f(x0): "))
x1 = float(input("Ingrese x1: "))
fx1 = float(input("Ingrese f(x1): "))
x2 = float(input("Ingrese x2: "))
fx2 = float(input("Ingrese f(x2): "))
x3 = float(input("Ingrese x3: "))
fx3 = float(input("Ingrese f(x3): "))

polinomio = calcular_coeficientes_lagrange_cubica(x0, fx0, x1, fx1, x2, fx2, x3, fx3)

# Comprobación de la función generada
print("\nComprobación con los puntos dados:")
from sympy import lambdify
funcion_polinomial = lambdify('x', polinomio)
for x, fx_expected in [(x0, fx0), (x1, fx1), (x2, fx2), (x3, fx3)]:
    fx_calculated = funcion_polinomial(x)
    print(f"f({x}) calculado = {fx_calculated}, valor esperado = {fx_expected}")

5.0 Interpolación

Modelos matemáticos

Lineal

Cuadrada por Interpolación de Newton

Cúbica por Interpolación de Newton

Interpolación Cuadrática de Lagrange

Interpolación Cúbica de Lagrange

`Scripts` en Python

Lineal

Cuadrada por Interpolación de Newton

Cúbica por Interpolación de Newton

Interpolación Cuadrática de Lagrange

Interpolación Cúbica de Lagrange

5.0 Interpolación

5.0 Interpolación

Modelos matemáticos

Lineal

Cuadrada por Interpolación de Newton

Cúbica por Interpolación de Newton

Interpolación Cuadrática de Lagrange

Interpolación Cúbica de Lagrange

Scripts en Python

Lineal

Cuadrada por Interpolación de Newton

Cúbica por Interpolación de Newton

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Interpolación Cúbica de Lagrange

5.0 Interpolación

`Scripts` en Python