Errores
- Hacía atrás: Error del $10\%$
- Hacía adelante: Error del $10\%$
- Centrado (En este nos enfocamos, ya que es el más exacto).
### Centrado
Es la forma más exacta.
Empleando los modelos matemáticos, ya obtenemos las derivadas, sin necesidad de calcular las anteriores.
Pasos
Calcular $f''(x)$ de $f(x)$ cuando $x=a$
1. Damos un valor llamado paso $h$ se recomienda que $h=0.1$
2. Usando el valor que se nos dio de $x$ calculamos los valores de $x_i$ serán tantos valores como el grado de la derivada.
| h | h | h | h | h | h | h |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\dots$ | $x-2h$ | $x-h$ | $x$ | $x+h$ | $x+2h$ | $\dots$ |
| $\dots$ | $x_{i-2}$ | $x_{i-1}$ | $x_{i}$ | $x_{i+1}$ | $x_{i+2}$ | $\dots$ |
- Tabulamos donde $x_{i}$ son los valores superiores de la tabla
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| $\dots$ | $\dots$ |
| $x-2h$ | $f(x-2h)$ |
| $x-h$ | $f(x-h)$ |
| $x$ | $f(x)$ |
| $x+h$ | $f(x+h)$ |
| $x+2h$ | $f(x+2h)$ |
| $\dots$ | $\dots$ |
- Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula superior correspondiente para calcular la derivada que necesitemos ### Ejemplos #### Ejemplo 1 Calcular $f''(x)$ de $f(x)=x^3-x$ cuando $x=1$
- Damos un valor llamado paso $h$ se recomienda que $h=0.1$
- Usando el valor que se nos dio de $x$ calculamos los valores de $x_i$ serán tantos valores como el grado de la derivada.
| h | h | h | h | h | h | h |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\dots$ | $0.8$ | $0.9$ | $1$ | $1.1$ | $1.2$ | $\dots$ |
| $\dots$ | $x_{i-2}$ | $x_{i-1}$ | $x_{i}$ | $x_{i+1}$ | $x_{i+2}$ | $\dots$ |
- Tabulamos donde $x_{i}$ son los valores superiores de la tabla
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| $0.9$ | $-0.171$ |
| $1$ | $0$ |
| $1.1$ | $0.231$ |
- Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula superior correspondiente para calcular la derivada que necesitemos $$f''(x)=\frac{f(x_{i+1})-2f(x_{i})+f(x_{i-1})}{h^2}$$ $$f''(x)=\frac{0.231-2(0)+(-0.171)}{(0.1)^2}=6$$ Por lo tanto $f''(x)=6$ #### Ejemplo 2 Calcular $f'''(x)$ de $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ cuando $x=0.2$
- Damos un valor llamado paso $h$ se recomienda que $h=0.1$
- Usando el valor que se nos dio de $x$ calculamos los valores de $x_i$ serán tantos valores como el grado de la derivada.
| h | h | h | h | h | h | h |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\dots$ | $0$ | $0.1$ | $0.2$ | $0.3$ | $0.4$ | $\dots$ |
| $\dots$ | $x_{i-2}$ | $x_{i-1}$ | $x_{i}$ | $x_{i+1}$ | $x_{i+2}$ | $\dots$ |
- Tabulamos donde $x_{i}$ son los valores superiores de la tabla
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| $0$ | $-0.5$ |
| $0.1$ | $-0.428$ |
| $0.2$ | $-0.363$ |
| $0.3$ | $-0.304$ |
| $0.4$ | $-0.25$ |
- Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula superior correspondiente para calcular la derivada que necesitemos $$f'''(x)=\frac{f(x_{i+2})-2f(x_{i+1})+2f(x_{i-1})-f(x_{i-2})}{2h^3}$$ $$f'''(x)=\frac{-0.25-2(-0.304)+2(-0.428)-(-0.5)}{2(0.1)^3}=0.7683$$
Por lo tanto $f'''(x)=0.7683$
Excel
- Agrega el valor de $x$ en la celda B5
- Agrega la función en la celda C5
- Agrega el paso en F5
Nota: Para el calculo de los valores reales, se uso la función
=DERIVF(C5,B5,B5)funciones que se descargaron en la página: ExceLab Calculus Add-in for Excel: Patented spreadsheet calculus functions (excel-works.com)
Se instaló el software y se agregó a excel desde Archivo>>Opciones>>Complementos>>Administrar(Ir)>>Examinar>>(Navegar hasta la carpeta donde está el complemento descargado)>>Click>>Aceptar.
4.2 Integración numérica.
Regla se Simpson $\frac{1}{3}$
Introducción
En este caso se usará la regla de Simpson $\frac{1}{3}$
Dada la función $y=f(x)$, el área limitada por la función y el eje $X$ en el intervalo $[a,b]$ está determinado por:
$$\text{Área}=\Delta x\frac{1}{3}(f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\dots+f(x_{n}))$$
Donde
- $x_{0}=a$
- $x_{n}=b$
- $\Delta x=\frac{b-a}{n}$
- $n=\text{número par de intervalos par}$
Empleando la lógica anterior podemos resolver algunos problemas
Ejemplos
Ejemplo 1
Resolver la siguiente integral $\int_{0}^{2} \sqrt{1+x^{2}} \, dx$
1. Asignamos los valores
- $a=0$
- $b=2$
- $n=4$ Este valor nosotros los elegimos entre mayor sea $n$ mayor precisión obtendrán nuestro cálculos.
2. Calculamos el incremento, esto se usa para dividir en $n$ secciones el intervalo a calcular, donde $\text{incremento}=\frac{b-a}{n}=\frac{1}{2}$
3. Creamos valores de iniciando desde $a$ sumando el incremento hasta $b$ consecutivamente, y tabulamos con el valor de la función..
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| $0$ | $1$ |
| $0.5$ | $1.11$ |
| $1$ | $1.4$ |
| $1.5$ | $1.8$ |
| $2$ | $2.23$ |
- Sustituimos en la formula $$\text{Área}=\frac{1}{2}\frac{1}{3}(1+4(1.11)+2(1.4)+4(1.8)+2.23)=2.945$$
Ejemplo 2
Resolver la siguiente integral $\int_{1}^{3} \frac{2x+3}{x^2+3x+2} \, dx$
1. Asignamos los valores
- $a=1$
- $b=3$
- $n=2$ Este valor nosotros los elegimos entre mayor sea $n$ mayor precisión obtendrán nuestro cálculos.
2. Calculamos el incremento, esto se usa para dividir en $n$ secciones el intervalo a calcular, donde $\text{incremento}=\frac{b-a}{n}=1$
3. Creamos valores de iniciando desde $a$ sumando el incremento hasta $b$ consecutivamente, y tabulamos con el valor de la función..
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| $1$ | $\frac{5}{6}$ |
| $2$ | $\frac{7}{12}$ |
| $3$ | $\frac{9}{20}$ |
- Sustituimos en la formula
$$\text{Área}=1\frac{1}{3}(\frac{5}{6}+4(\frac{7}{12})+\frac{9}{20})=1.20$$
### Regla del Trapecio
Consiste en dividir el área en pequeños trapecios.
El modelo matemático es el siguiente
$$A=\frac{B+b}{2}h$$
Introducción
Dada la función $y=f(x)$, el área limitada por la función y el eje $X$ en el intervalo $[a,b]$ está determinado por:
$$\text{Área}=\frac{\Delta x}{2}(f(x_{0})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+\dots+f(x_{n}))$$
Donde
- $x_{0}=a$
- $x_{n}=b$
- $\Delta x=\frac{b-a}{n}$
- $n=\text{número par de intervalos par o impar}$
Ejemplo
Resolver la siguiente integral $\int_{0}^{1} e^{x^{2}} \, dx$
1. Asignamos los valores
- $a=0$
- $b=1$
- $n=5$ Este valor nosotros los elegimos entre mayor sea $n$ mayor precisión obtendrán nuestro cálculos.
2. Calculamos el incremento, esto se usa para dividir en $n$ secciones el intervalo a calcular, donde $\text{incremento}=\frac{b-a}{n}=\frac{1}{5}$
3. Creamos valores de iniciando desde $a$ sumando el incremento hasta $b$ consecutivamente, y tabulamos con el valor de la función..
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| $0$ | $1$ |
| $0.2$ | $1.04$ |
| $0.4$ | $1.17$ |
| $0.6$ | $1.43$ |
| $0.8$ | $1.89$ |
| $1$ | $2.71$ |
- Sustituimos en la formula $$\text{Área}=\frac{1}{5}\frac{1}{2}(1+2(1.04)+2(1.17)+2(1.43)+2(1.89)+2.71)=1.47$$
Regla se simpson (3/8)
Los pasos son exactamente los mismos, solo varía en la formula a utilizar, siendo está...
$$\frac{3h}{8}f(x_{0}+3 \sum_{i=1,4,7}^{n - 2} f(x_{i})+3 \sum_{i=2,5,8}^{n - 1} f(x_{i})+2 \sum_{i=3,6,9}^{n - 3} f(x_{i}) + f(x_{n}))$$
Aplicaciones y Resolución usando Excel
Para esto te dejo la siguiente plantilla de Excel, se resuelve e ingresa datos siguiendo la nomenclatura de colores anteriores, así como el ingreso de datos correspondientes.
