Método de Gauss Seidel
Dada una matriz
$$
\begin{align*}
3x_1 + 6x_2 - x_3 &= 13 \
8x_1 + 4x_2 - 2x_3 &= 24 \
2x_1 - 2x_2 + 6x_3 &= 16
\end{align*}
$$
Paso 1: La matriz tiene que ser dominante (o volverla dominante), en este caso reescribir para que la diagonal principal debe ser mayor al resto (cambiar el orden de las expresiones), para esto no importa el signo solo el valor del coeficiente.
Verificar que en la diagonal principal sea números mayores.
$$
\begin{align*}
8x_1 + 4x_2 - 2x_3 &= 24 \
3x_1 + 6x_2 - x_3 &= 13 \
2x_1 - 2x_2 + 6x_3 &= 16
\end{align*}
$$
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
8 & 4 & -2 \
3 & 6 & -1 \
2 & -2 & 6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
24 \
13 \
16
\end{pmatrix}
\end{equation*}
$$
Nótese como se cambiaron el orden de las ecuaciones para que en la diagonal principal quedaran los valores de mayor coeficiente.
Paso 2: Despejar las $x$ para cada ecuación, esto aplica hasta $n$ ecuaciones.
$$
\begin{align*}
8x_1 + 4x_2 - 2x_3 &= 24 \
3x_1 + 6x_2 - x_3 &= 13 \
2x_1 - 2x_2 + 6x_3 &= 16
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
x_{1} &= \frac{24 - 4x_{2} + 2x_{3}}{8}, \
x_{2} &= \frac{13 - 3x_{1} + x_{3}}{6}, \
x_{3} &= \frac{16 - 2x_{1} + 2x_{2}}{6}.
\end{align*}
$$
Paso 3: Colocar valores iniciales
Para el primer caso $0, 0, 0$ en todas las $x$ en $0$.
$$x_1 = \frac{24 - 4(0)^2 + 2(0)}{8} = \frac{24}{8} = 3
$$
Usar los valores actualizados para el nuevo calculo.
$$x_2 = \frac{13 - 3(3) + 0}{6} = 0.66667$$
Usar los valores actualizados para el nuevo calculo.
$$x_3 = \frac{16 - (2(3) + 2(0.6667))}{6} = 1.88889
$$
De ahí sustituir y reemplazar una y otra vez...
$$
\begin{align*}
x_1 &= \frac{24 - 4x_2 + 2x_3}{8} \
x_1 &= \frac{24 - 4(0.66667) + 2(1.88889)}{8} = 3.1388 \approx 3
\end{align*}
$$
Usar los valores actualizados para el nuevo calculo.
$$
\begin{align*}
x_2 &= \frac{13 - 3x_1 + x_3}{6} \
x_2 &= \frac{13 - 3(3.1388) + 1(1.8889)}{6} = 0.912037 \approx 1
\end{align*}
$$
Usar los valores actualizados para el nuevo calculo.
$$
\begin{align*}
x_3 &= \frac{16 - 2x_1 + 2x_2}{6} \
x_3 &= \frac{16 - 2(3.1388) + 2(0.912037)}{6} = 1.924383 \approx 2
\end{align*}
$$
Notas: En Excel no redondear, entre más iteraciones se hace una mayor aproximación al resultado, frenamos hasta tener el error deseado o que los resultados se repitan.
Método Jacobi
El Método de Jacobi es otro método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Al igual que en el Método de Gauss-Seidel, se busca aproximarse a la solución de un sistema de ecuaciones de la forma (Ax = b), donde (A) es la matriz de coeficientes, (x) es el vector de incógnitas, y (b) es el vector de términos independientes.
A continuación, se describe cómo aplicar el Método de Jacobi siguiendo el ejemplo dado para el Método de Gauss-Seidel.
Dada una matriz:
$$
\begin{align*}
3x_1 + 6x_2 - x_3 &= 13 \
8x_1 + 4x_2 - 2x_3 &= 24 \
2x_1 - 2x_2 + 6x_3 &= 16
\end{align*}
$$
Paso 1: Acomodar la matriz para tener coeficientes dominantes en la diagonal principal (si es necesario). En este ejemplo, reordenamos para cumplir con la condición de la diagonal dominante:
$$
\begin{align*}
8x_1 + 4x_2 - 2x_3 &= 24 \
3x_1 + 6x_2 - x_3 &= 13 \
2x_1 - 2x_2 + 6x_3 &= 16
\end{align*}
$$
Paso 2: Despejar cada (x_i) de cada ecuación. La diferencia principal entre Jacobi y Gauss-Seidel radica en que para Jacobi, al calcular una aproximación de (x_i), se utilizan los valores de la iteración anterior para todas las variables:
$$
\begin{align*}
x_{1} &= \frac{24 - 4x_{2} + 2x_{3}}{8}, \
x_{2} &= \frac{13 - 3x_{1} + x_{3}}{6}, \
x_{3} &= \frac{16 - 2x_{1} + 2x_{2}}{6}.
\end{align*}
$$
Paso 3: Colocar valores iniciales. Generalmente se comienza con (0) para todas las variables:
$$
x_1^{(0)} = 0, x_2^{(0)} = 0, x_3^{(0)} = 0.
$$
Iteración 1:
Utilizamos los valores iniciales para encontrar la primera aproximación de cada variable:
$$
\begin{align*}
x_1^{(1)} &= \frac{24 - 4(0) + 2(0)}{8} = 3, \
x_2^{(1)} &= \frac{13 - 3(0) + 0}{6} = \frac{13}{6}, \
x_3^{(1)} &= \frac{16 - 2(0) + 2(0)}{6} = \frac{8}{3}.
\end{align*}
$$
Iteración 2 y siguientes:
Para cada iteración subsiguiente, se usan los valores obtenidos en la iteración anterior, pero a diferencia de Gauss-Seidel, no actualizamos las variables inmediatamente. En vez de eso, para cada (x_i), se utiliza el conjunto completo de valores obtenidos en la iteración anterior:
$$
\begin{align*}
x_1^{(n+1)} &= \frac{24 - 4x_{2}^{(n)} + 2x_{3}^{(n)}}{8}, \
x_2^{(n+1)} &= \frac{13 - 3x_{1}^{(n)} + x_{3}^{(n)}}{6}, \
x_3^{(n+1)} &= \frac{16 - 2x_{1}^{(n)} + 2x_{2}^{(n)}}{6}.
\end{align*}
$$
Continuamos iterando hasta alcanzar el nivel de precisión deseado, basado en la diferencia entre los valores de las variables en iteraciones consecutivas.
Notas:
- A diferencia de Gauss-Seidel, en el Método de Jacobi, los valores nuevos no se utilizan inmediatamente para las siguientes variables en la misma iteración.
- Este método puede implementarse fácilmente en forma matricial y es particularmente adecuado para la programación paralela.
- Es importante verificar la convergencia del método para el sistema específico que se está resolviendo.
En este caso tenemos un método de solución para matrices de $5x5$ aunque se puede modificar para ser más escalable.
Se pueden resolver más problemas.
Solucionar Sistemas de Ecuaciones de hasta $10$ variables.
