2.0 Métodos de solución de ecuaciones

2.1 Métodos de intervalos

Se divide principalmente en 2
- Gráfico
- Regla falsa

Método gráfico

1. Selecciona un Intervalo de valores de $[a,b]$
2. Crea una tabulación de $n$ valores con un incremento de $\frac{a-b}{n}$

1. Busca un cambio de signo entre los valores $a_1$ y $b_1$, ese será el intervalo entre los que se encuentra la solución.
2. Si no hay cambio de signo haz más grande el intervalo $[a,b]$
3. Si quieres mayor precisión vuelve a realizar los cálculos pero con el nuevo intervalo $[a_1,b_1]$.

Puedes consultar el material final para tener todo automatizado.

Método de regla falsa

Esto se hace asumiendo que "El hecho que se reemplace la curva por una línea recta da una falsa posición de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición o en latín $\text{regula falsi}$. También se le conoce como método de interpolación lineal".

Dada una función $f(x)$ se usa
$$x_{r}=x_{u}-\frac{f(x_{u})(x_{i}-x_{u})}{f(x_{i})-f(x_{u})}$$
Los dos valores iniciales, $x_l$ o $x_u$.

Condiciones y pasos

1. Elegir valores iniciales $x_i=inferior$ y $x_u=superior$ que encierre la Raíz $x_r$
2. Evaluar tanto $f(x_i)$ como $f(x_r)$
3. Realice la siguiente verificación
4. $f(x_i) f(x_r) < 0$ haga $x_u=x_r$
5. $f(x_i) f(x_r) > 0$ haga $x_i=x_r$ y volver al paso $2$.
6. $f(x_i) f(x_r) = 0$ Parar el procedimiento

Ejemplo

Dada la función $f(x) = -0.5x^2+2.5x+4.5$
- En el método gráfico pudimos obtener un intervalo que ahora usaremos $x_i=6$ y $x_u=7$

$$x_{r}=x_{u}-\frac{f(x_{u})(x_{i}-x_{u})}{f(x_{i})-f(x_{u})}$$

1. Iteración $x_i=6$ y $x_u=7$

Evaluamos...
$f(x_i) = f(6)=1.5$
$f(x_u)=f(7)=-2.5$

Calculamos $x_r$
$x_r=6.375$
$f(x_r)=0.11711875$

Verificación
$f(x_i) f(x_r) > 0$

Entonces
$x_i=x_r$; $x_i=6.375$

1. Iteración $x_i=6.375$ y $x_u=7$

$f(x_i)=f(6.375)=0.1171875$
$f(x_u)=f(7)=-2.5$

$x_r=6.4029$

• Si quiere más pasos repita las iteraciones tantas veces como la necesite. >Puedes consultar el material final para tener todo automatizado.

2.2 Método de bisección

Similar al de regla falsa...

Condiciones y pasos

1. Elegir valores iniciales $x_i=inferior$ y $x_u=superior$ que encierren a la raíz $x_r$ recuerda que los puedes obtener del método gráfico.
2. Aproximar la Raíz Formula $$x_{r}=\frac{x_{i}+x_{u}}{2}$$
3. Realizamos la verificación
4. $f(x_i) f(x_r) < 0$ haga $x_u=x_r$
5. $f(x_i) f(x_r) > 0$ haga $x_i=x_r$ y volver al paso $2$.
6. $f(x_i) f(x_r) = 0$ Parar el procedimiento

Ejemplo

Dada la función $f(x) = -0.5x^2+2.5x+4.5$
- En el método gráfico pudimos obtener un intervalo que ahora usaremos $x_i=6$ y $x_u=7$

$$x_{r}=\frac{x_{i}+x_{u}}{2}$$

1. Iteración $x_i=6$ y $x_u=7$ $$x_{r}=\frac{6+7}{2}=6.5$$

Evaluamos...
$f(x_i) = f(6)=1.5$
$f(x_r)=f(7)=-0.375$

Verificación
$f(x_i) f(x_r) < 0$ haga $x_u=x_r$

1. Iteración $x_i=6$ y $x_u=6.5$ $$x_{r}=\frac{6+6.5}{2}=6.25$$ $f(x_i)=f(6)=1.5$ $f(x_r)=f(6.25)=0.59375$

$f(x_i) f(x_r) > 0$ haga $x_i=x_r$, $x_i=6.25$

1. Iteración $x_i=6.25$ y $x_u=6.5$ $$x_{r}=\frac{6.25+6.5}{2}=6.375$$ $f(x_i)=0.5937$ $f(x_r)=0.1171875$

$f(x_i) f(x_r) > 0$ haga $x_i=x_r$, $x_i=6.375$

1. Iteración $x_i=6.375$ y $x_u=6.5$ $$x_{r}=\frac{6.375+6.5}{2}=6.4375$$

• Si quiere más pasos repita las iteraciones tantas veces como la necesite. >Puedes consultar el material final para tener todo automatizado.

2.3 Método de Aproximaciones sucesivas

Dada una función cualquiera
$$f(x)$$
1. Despejar una de sus $x$ esto con el fin de tener una función de la forma
$$x = \frac{g(x)}{h(x)}$$
2. El fin de este método consiste en realizar cálculo sucesivos iniciando en $0$.

1. Reemplazar los resultados hasta que se repita el valor una y otra vez...

Consiste en despejar una $x$ en la ecuación sustituir el valor inicial $0$ y el resultado obtenido reemplazarlo nuevamente en la ecuación, el resultado anterior reemplazarlo nuevamente y así hasta que el valor se repita.

En este caso el error se calcula como
$$Error_{Absoluto}=\mid x_{-1}-x|$$El valor de $x$ en el calculo actual menos el valor de $x$ anterior.

Ejemplo

Dado $e^x-2x-5$

1. Despejamos $x$ $$x=\frac{e^x-5}{2}$$
2. Realizar cálculos sucesivos iniciando en $0$.

Paramos hasta cuando se repitan los datos o tenemos un mínimo deseado.

Puedes consultar el material final para tener todo automatizado.

Excel y Programas

Si te soy honesto hasta me obsesione con hacer esto mucho más rápido, sin embargo no es posible dado un solo Libro de Excel automatizar todos los cálculos (o al menos con mis conocimientos actuales), por lo que te traigo tres libros en Excel que podrán calcular sin problema cualquier función...

Métodos de Aproximaciones sucesivas

- Coloca tu función despejada en la celda Azul (C5) por ejemplo =(EXP(B5)-5)/2
- Arrastra lo resultado en la imagen hacía abajo hasta tener el error deseado.

Funciones Polinómicas

De la forma
$$a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\dots+a_{n}x^{n}+$$
Este libro acepta no solo números enteros como exponentes, sino también fraccionarios e incluso constantes como $PI$.

En este libro las funciones ya están automatizadas, por lo que te da el resultado de forma automática, si ves que te produce un error ve a la hoja Método gráfico y reduce los intervalos de color amarrillo acercándote al resultado (Sustituye los valores donde cambia de signo)..

Cualquier Función

Este programa acepta cualquier función, pero eso tiene un costo, no es del todo automatizado...
$$x^2$$
$$-e^{-x}+x$$

$$f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$$
$$f(x) = e^{ax^2 + bx + c} + dx + ex^2$$
$$f(x) = \log_2(x^2 + 1) + \sqrt[3]{x} - \frac{1}{\ln(2x)}$$
$$f(x) = a \cos(bx) + c \sin(dx) + e \tan(fx)$$

Inserte la función en la celda color Azul en función de A6

Copie y pegue en las siguientes celdas así como arrastre hacia abajo
Copie y pegue en la celda y de doble click...

Repita los mismos pasos para las siguientes celdas.
Pegue la formula en las celdas C5, E5, G5 arrastre una vez hacia abajo, no olvide colocar los intervalos del método gráfico en color amarrillo, finalmente seleccione toda la fila 6 y arrastre hacia abajo hasta obtener el Resultado.

Repita lo mismo con el otro método